Олександр Клименко зростав у родині вчительки у Ворошиловграді (нині — Луганськ). У дитинстві він часто подорожував, бував у музеях Москви, Ленінграда, Мінська, часто їздив до Прибалтики, де познайомився з тогочасним мистецтвом цих республік.
Його творчість можна розділити на два періоди: період фігуративного (1983–1999) та абстрактного (від 1999 року і дотепер) живопису. Обидва періоди об’єднує любов до німецького романтизму, філософії й історії культури, якими він зацікавився ще з дитинства. За словами художника, його дипломну роботу у Ворошиловградському державному художньому училищі (нині — коледж Луганської державної академії культури і мистецтв) навіяно творчістю німецького романтика Каспара Давіда Фрідріха (1774–1840). Працюючи над дипломом, Клименко прожив два тижні у селі на березі Азовського моря, де запізнався з рибалками. Там він створив серію невеликих акварелей із морськими пейзажами, акцентувавши увагу на зображенні величезного неба і моря. Подекуди на цих акварелях є маленькі фігури рибалок, які пораються біля човнів на березі моря.
У 1983 році Клименко одружився з художницею Валерією Трубіною. Того самого року він переїхав до Києва і вступив на відділення монументального мистецтва Київського державного художнього інституту. На вступних іспитах він познайомився з майбутніми однокурсниками Олегом Голосієм і Олександром Гнилицьким, іншими молодими художниками. У 1989 році Клименко знайшов приміщення під майстерні на вулиці Леніна (нині — Богдана Хмельницького), а згодом — для сквоту на вулиці Паризької Комуни (нині — Михайлівська), де облаштувалися переважно його друзі з художнього інституту. Тоді ж таки у Валерії Трубіної зав’язалися стосунки з Олегом Голосієм, і вона порвала з Клименком, що стало для художника великим потрясінням.
У цей час Клименко створив багато романтичних, а водночас агресивних і еротичних полотен, зокрема кілька різних за тематикою і виконанням циклів, які умовно можна поділити на дві групи: в одній художник звертається до традицій романтизму, в іншій очевидні впливи італійського трансавангарду.
Творчість німецького романтика Фрідріха наскрізна й у циклі «Неоромантизм», або «Новий романтизм» (кінець 1980-х — початок 1990-х). Відверта алюзія на роботи цього митця — живописний твір «Місячний ковбой». Холодний синій колорит полотна породжує відчуття аскетизму й самотності. Як і в ранніх акварелях, Клименко віддає перевагу пейзажам; у цьому творі містичний космічний краєвид поглинає темну фігуру людини. Своїм пейзажем Клименко, як і всі романтики, стверджує культ природи, почуттів і внутрішнього світу людини. Романтичність роботи увиразнює те, що зображено на ній місячну поверхню, далекий супутник Землі, цілий безкрайній космос.
Інша важлива фігура для ранньої творчості Клименка — італійський експресіоніст Франческо Клементе, чий альбом потрапив художникові до рук на початку 1990-х, у момент розвитку українського трансавангарду. У цей період Клименко відчутно захопився релігійною, психологічною літературою та містикою. Він збирав самвидавні публікації на ці теми, багато читав. За його словами, у той час він переживав перехідний стан, вирішуючи, хто він — художник чи філософ. Саме тому окремі роботи, які здалися йому недосконалими, він власноруч знищив.
Клименко часто малював тіла людей, замінюючи частини тіла предметами, наприклад, зображуючи замість голів ліхтарі, або, навпаки, малював лише частину тіла — голову там чи язик. Відтак тіло людини, яке він створює, ніби розсипається. Більшості тогочасних полотен художника притаманні фрагментарність і надмірна сексуальність. Скажімо, робота «Таємничий світ знань» яскраво ілюструє одразу обидві характеристики: металевий стовбур ліхтаря вростає в героя картини і стає уособленням гігантського ерегованого фалоса.
Фігуративний живопис Клименка стає дедалі фрагментарнішим і розпадається на невеликі частини. Цей процес розпаду завершує абстракція, яка витісняє весь інший живопис художника.
У 1994–1999 роках Клименко переживає період своєрідного мовчання в живописі. У 1997 році він створив кілька пейзажів. У цей час у його творчості помітно перехід від холодних темних кольорів до теплих жовтогарячих і червоних. Клименко також експериментує з формою, створює полотна у вигляді тонких вертикальних ліній, які нагадують сувої, або ж у формі кола.
З 1999 року Клименко остаточно відмовляється від фігуративу і починає малювати абстрактні роботи, яким дає розлогі назви, часто це цілі тексти, як-от «Радісний крик самотнього і вільного птаха в сутінках між світами, серед тисяч днів, що змінюють один одного, днів і ночей, заходів і світанків» (2005, 20×110 см, полотно, акрил, авторська техніка) або «Тиха мелодія в тиші, благодатна самотність серед книг і картин. Дим сигари робить усе нетутешнім. Де ми?» (2007, 30×40 см, полотно, акрил, авторська техніка).
У 2009 році художник відвідав Індію, яка вразила його своєю красою. Відтоді він створив кілька циклів, присвячених сонячній країні, зокрема «Солярний гедонізм» та «Індія. Гоа».
Клименко відзначає важливість концепції й ідеї у всьому, що він робить і малює. Звідси його філософська концепція живопису, його увага до супровідних текстів — він сам перекладає тексти для своїх робіт англійською мовою, доповнює картини уривками зі щоденників і есеїв, нерідко надаючи їм надмірно інтелектуального змісту. Двомовність Клименка свідчить, що він робить акцент на західний арт-ринок. Він часто цитує великих художників і присвячує їм картини (за словами художника, більшість його абстрактних творів — це полеміка з Малевичем). Важлива риса митця — здатність до комунікації і вміння організовувати. Він об’єднав художників під одним дахом спочатку в майстерні по вулиці Леніна, згодом на Паризької Комуни, провів кілька міжнародних виставок в Україні і за кордоном, видав каталоги українських художників, спільно з кураторкою Тамарою Лі організував арт-центр на вулиці Костьольній у Києві, де нині відбувається частина його творчих проектів.
